Бөлгенлеккә төшү куркынычы
Максатка ирешкәнче бөтен уен акчагызны югалту ихтималлыгы.
Тигез түләүле ставкалар өчен бөлгенлеккә төшү куркынычы уенчы бөлгенлеге формуласына буйсына. $500 уен акчасы, $10 лык ставкалар һәм $600 максат белән сез якынча 57% очракта максатка ирешәсез, ә калганында бөтенесен югалтасыз.
Сорау
Сезнең a берәмлекакчаБерәмлекСистема яки уенчы эш итә торган төп ставка. Прогрессияләр теләсә кайсы өстәлдә кулланырлык булсын өчен берәмлекләрдә тасвирлана.Тулысынча уку → уен акчасыакчаУен акчасыУен өчен аерып куелган гомуми сумма. Уен акчасы белән идарә итү — аның күпме өлешен бер ставкада һәм бер сессиядә куркыныч астына куярга карар итү.Тулысынча уку → бар һәм сез a + b берәмлеккә ирешергә телисез, һәр тапкыр бер берәмлекне оту ихтималлыгыматематикаИхтималлыкНәтиҗәнең мөмкинлеге, 0 дән 1 гә кадәр яки 0% тан 100% ка кадәр. Бер сан: 1/37 = 2,70%.Тулысынча уку → p = 18/37 һәм оттыру ихтималлыгы q = 19/37 булган тигез түләүле ставкагаставкаТигез түләүле ставкаКызыл/кара, так/җөп, зур/кечкенә. 18 сан, 1:1 түли.Тулысынча уку → куеп. Нульгә төшкәнче максатка ирешү мөмкинлеге нинди? Җавапны 1650 нче елларда Паскаль, Ферма һәм Гюйгенс чыгарган, һәм бу — ихтималлыклар теориясенең иң борынгы нәтиҗәләренең берсе.
Уенчы бөлгенлеге формуласы
P(максатка ирешү) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Бөлгенлеккә төшү куркынычыматематикаБөлгенлеккә төшү куркынычыМаксатка яки әйләнешләр санына ирешкәнче бөтен уен акчасын оттыру ихтималлыгы.Тулысынча уку → — бердән шуны алу. q/p = 19/18 ≈ 1,0556 булганда нисбәт берәмлекләр санына карап экспоненциаль үсә, шуңа күрә формула кечкенә берәмлекләрне каты җәзалый: максатка ирешү өчен никадәр күбрәк ставка кирәк, юлда 2,70% лык түләү шулкадәр күбрәк тапкыр түләнә.
Ничек укырга
Кечкенә берәмлекләр зыян китерә. $500 ны $10 лык ставкалар белән икеләтергә тырышу 6% очракта уңышлы була; бер $500 лык ставка белән — 48,6% очракта. Кыю уен, азрак һәм зуррак ставкалар, тискәре көтелгән кыйммәтле уенда максатка ирешү мөмкинлеген иң зур итә, чөнки өстенлекнең кулланылу санын иң кечкенә итә. Ул шулай ук сезнең белән булачак нәрсәнең дисперсиясенматематикаДисперсияНәтиҗәләрнең көтелгән кыйммәт тирәсендә күпме киң таралуын үлчәү. Бер санга ставкада югары, тигез түләүле ставкаларда түбән.Тулысынча уку → иң зур итә һәм кичне тиз тәмамлый. Теорема «кыю уен оптималь» дип атала, аны Дубинс белән Сэвидж 1965 елда исбатлаган.
Мәсьәлә кайдан башланган
Бу сорау рулеткадан борынгырак. 1656 елда Паскаль Фермага табышмак биргән: ике уенчы өч сөяк ыргыта, һәрберсе 12 фишка белән башлый; 11 чыкса, бер фишка бер якка күчә, 14 чыкса — икенче якка. Икесе дә аны чишкән, ә бу хакта математик Пьер де Каркавиның хаты аша ишеткән Гюйгенс аны 1657 елда ихтималлык турындагы беренче китапның бишенче мәсьәләсе итеп, җавабы белән, исбатлаусыз бастырган. Унберне 27 юл белән, ә ундүртне 15 юл белән генә ыргытып була, шуңа күрә һәр фишка 14 тән 9 очракта беренче уенчы ягына күчә, һәм югарыдагы формула, һәрберсендә 12 фишка булганда, аның бөтенесен оту ихтималлыгы бөтенесен оттыруга караганда якынча 1 157 тапкыр зуррак икәнен күрсәтә. 2,70% лык өстенлек күпкә кечкенәрәк, ләкин шул ук формула аның күп ставкада нәрсә эшләвен күрсәтә.
Чын кыю ставка
2004 елның апрелендә яшь инглиз Эшли Ревелл үзенең бөтен мөлкәтен диярлек, хәтта киемнәрен дә сатып, $135 300 ны Лас-Вегастагы Plaza га алып килгән. Берничә кечкенә ставкадан соң ул бөтен сумманы бер тапкыр кызылгаставкаКызыл18 кызыл санга тигез түләүле ставка. Французча: rouge.Тулысынча уку → куйган. ШарҗиһазШарРоторга каршы юл буйлап җибәрелә торган кечкенә шар. Хәзерге шарлар ivorine яки тефлоннан, 18–21 мм.Тулысынча уку → кызыл 7 гә төшкән, һәм ул $270 600 белән чыгып киткән. Ике нульлетәгәрмәчНульТигез түләүле, дюжина яки баганага бер ставка да капламый торган бердәнбер яшел уяч; казино өстенлегенең чыганагы. Шулай ук: бер нуль, 0.Тулысынча уку → тәгәрмәчтә бу бер әйләнеш 47,37% мөмкинлек булган һәм аңа уртача $7 121 гә төшкән — бер ставкада 5,26% өстенлек. $10 лык ставкаларга бүлгәндә, шул ук максат өметсез диярлек булыр иде. Кыю уен ставканы яхшы итми; ул аны мөмкин кадәр кыска итә.
Максатсыз бөлгенлеккә төшү куркынычы
Сез бөтенесен югалтканчы уйнасагыз яки N әйләнештән соң туктасагыз, сорау «N әйләнеш эчендә уен акчамның нульгә тию мөмкинлеге нинди?» булып китә. Гомуми N өчен ябык формула юк, ләкин бу сайттагы симуляторлар аны исәпли: кызылга $10 лап $500 уен акчасы 100 әйләнештә бөлгенлеккә төшми диярлек (1% тан ким), 500 әйләнештә якынча 9% очракта, ә 5 000 әйләнештә якынча 95% очракта бөлгенлеккә төшә. Туктау кагыйдәсе булмаганда ихтималлык 100% ка омтыла, һәм бу — казино өстенлегенеңматематикаКазино өстенлегеҺәр ставканың казино уртача үзенә алып кала торган өлеше: Европа рулеткасында 2,70%.Тулысынча уку → озын арадагы рәвеше.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медиана −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Күпме вакыт һәм күпмегә плюста
Тагын ике классик нәтиҗә уенчылар чынлап та бирә торган сорауларга җавап бирә. Максат булмаганда, даими тигез түләүле ставкалар Европа тәгәрмәчендә уен акчасының һәр берәмлегенә уртача 37 әйләнеш, Америка тәгәрмәчендә 19 әйләнеш дәвам итә, чөнки һәр әйләнеш уртача берәмлекнең 1/37 өлешен ала (Америка тәгәрмәчендә 1/19): 100 берәмлек уртача 3 700 әйләнешкә җитә, гәрчә мондый сессияләрнең яртысы 3 134 әйләнеш эчендә тәмамланса да («Сессиянең озынлыгы һәм бәясе»н карагыз). Һәм уен акчасы никадәр генә зур булмасын, Европа тәгәрмәчендә кайчан да булса k берәмлеккә плюста булу мөмкинлеге (18/19)ᵏ. Бу бер берәмлек өчен 95% һәм ун берәмлек өчен 58%, ләкин бернинди уен акчасы, никадәр генә зур булмасын, кайчан да булса 13 берәмлеккә плюста булу өчен тигез мөмкинлек бирми; Америка тәгәрмәчендә мөмкинлек (9/10)ᵏ һәм 7 берәмлектә яртыдан түбән төшә.
Сессиянең озынлыгы һәм бәясеАмерика рулеткасы тәгәрмәче һәм кагыйдәләре
Илледән илле мөмкинлек өчен уен акчасы
Соравны әйләндерик: бөтенесен югалтканчы билгеле сумманы оту өчен ким дигәндә илледән илле мөмкинлек булсын өчен күпме алып килергә кирәк? Кечкенә отыш өчен — күп түгел. Зуррак отыш өчен кирәкле уен акчасы кискен үсә, һәм ниндидер чиктән соң бернинди уен акчасы да җитми, чөнки хәтта чиксезе дә шулкадәр плюска чыгу өчен илледән илледән ким мөмкинлек бирә. Тейлор (2021) моны башкача әйтә: Америка тәгәрмәчендә 100 берәмлеккә ирешүгә илледән илле мөмкинлек булсын өчен 94 тән башларга кирәк, ягъни 6 ны оту өчен 94 не куркыныч астына кую. Европа тәгәрмәчендә сезгә 88 кирәк булыр иде.
Гамәли сабак
Нәрсәгә омтылуыгызны хәл итегез. Максат — билгеле отыш булса, зур һәм аз куегыз. Максат — озын кич булса, кечкенә куегыз һәм өстенлек зур әйләнешнеңакчаӘйләнешСессия яки чор дәвамында куелган гомуми сумма, яңадан куелган отышларны да санап. Шулай ук: handle, action.Тулысынча уку → 2,70% ын алачагын кабул итегез. Максат икесе дә булса, нәрсәдәндер баш тартырга туры килә, һәм гадәттә бу — максат.
Формула
Сораулар
МартингейлстратегияМартингейлҺәр оттырудан соң ставканы ике тапкыр арттыручы прогрессия. Аның нәрсә эшләгәнен һәм нәрсә эшләмәгәнен «Стратегия» бүлегендә карагыз.Тулысынча уку → аны кыска сессияләрдә киметә һәм озыннарында кискен арттыра. Зуррак берәмлек белән даими ставкастратегияДаими ставкаҺәр әйләнештә бер үк сумманы кую. Һәр прогрессия чагыштырыла торган үлчәм.Тулысынча уку → — аны киметүнең намуслы юлы.
Югарыдагы формула тигез түләүле ставкалар өчен. Югары дисперсияле ставкаларда кечкенә суммалар белән бөлгенлек ихтималрак, ә максатка тигезсезрәк ирешелә; калькуляторны кулланыгыз.
Максатка таба һәр адым бөлгенлеккә таба һәр адымга караганда бераз азрак ихтимал; нисбәт адымнар саны буенча җыела бара.
Күңелле математика
Башта үзегез чишеп карагыз. Һәр чишелеш яшерелгән; әзер булгач ачыгыз.
Сездә $100 бар, ә сез $1 000 телисез, кызылгаставкаКызыл18 кызыл санга тигез түләүле ставка. Французча: rouge.Тулысынча уку → гына куеп. Беренче план: $1 лап куярга. Икенче план: $500 дән узганчы бөтен булганыгызны куярга, аннары $1 000 гә җитәрлек кадәр генә. Кайсы план яхшырак һәм күпмегә?
Чишелешне күрсәтү
Җавап Икенчесе, күпкә. Ул $1 000 гә якынча 9,0% очракта җитә, гадел 10% ка якын. Беренче план якынча 10²² дә 7 тапкыр уңыш китерә.
Гадел уендаматематикаГадел уенБер якның да өстенлеге булмаган уен: һәр ставканың көтелгән кыйммәте нуль.Тулысынча уку → сез нишләсәгез дә, $100 дән $1 000 гә уннан бер тапкыр җитәр идегез, чөнки акчагызның уртача кыйммәте $100 дә кала.
Өстенлек һәр ставканың 2,70% ын ала, шуңа гомумән азрак куйган саен, уннан бергә якынрак каласыз. Икенче план эшне берничә ставкада хәл итә: $100 $200, $400, $800 гә әверелә, аннары $200 җитә. Ул якынча 9,0% очракта уңыш китерә. Беренче план юл беткәнче меңләгән ставка ала, һәм һәрберсендә кечкенә булган өстенлек кушыла барып, бөлгенлеккә төшүне диярлек котылгысыз итә.
Бу — Дубинс–Сэвидж нәтиҗәсенең иң гади формасы (Эпштейн, 2013): казино файдасына булган уенда кирәк кадәр күп, мөмкин кадәр сирәк куегыз.
Сездә $500 бар, ә сез $1 000 телисез һәм аңа ирешү белән туктыйсыз. Сез бер төр ставка сайлыйсыз һәм ул бер тапкыр откангача яки акча беткәнче аны кабатлыйсыз. Кайсы төр иң яхшы мөмкинлек бирә?
Чишелешне күрсәтү
Җавап Кызылга бер $500 лык ставка: 48,6%. Акчаны кечерәк ставкаларга тараткан һәр план начаррак.
Һәр ставка суммасын бер отыш җитәрлек итеп сайлагыз: бер сангаставкаБер санга ставкаБер сан, 35:1 түли.Тулысынча уку → $30 $1 050 ота, ике сангаставкаИке санга ставкаЯнәшә ике сан, 17:1 түли.Тулысынча уку → $60 $1 020 ота һ.б. Аннары акча беткәнче ким дигәндә бер ставканың оту ихтималлыгын санагыз. Бер санга $30 лык уналты ставканың барысы да (36/37)¹⁶ = 64,5% ихтималлык белән оттыра, шуңа алар $1 000 гә 35,5% очракта җитә.
Таблица һәр ставканы күрсәтә. Кызыл иң яхшы нәтиҗә бирә, чөнки анда бер ставкада ирешә, шуңа өстенлек бер тапкыр, $500 дән түләнә. Алты санга ставкаставкаАлты санга ставкаЯнәшә ике рәттәге алты сан, 5:1 түли. Французча: sixain.Тулысынча уку → икенче, чөнки аңа өч ставка гына кирәк. Бер дюжинагаставкаДюжинага ставка1–12, 13–24 яки 25–36, 2:1 түли.Тулысынча уку → ставка иң начары, 12/37 мөмкинлек; хәтта $1 000 яки күбрәк булганчы $250 лык берәмлекләракчаБерәмлекСистема яки уенчы эш итә торган төп ставка. Прогрессияләр теләсә кайсы өстәлдә кулланырлык булсын өчен берәмлекләрдә тасвирлана.Тулысынча уку → белән уйнаганда да дюжина анда 46,4% очракта гына ирешә.
Боллман (2024) шул ук таблицаны Америка тәгәрмәче өчен төзи. Аның дюжина юлында хата бар: анда 12/38 = 31,6% булырга тиеш.
ставкаставка суммасы × ставкалар саны$1 000 гә ирешү ихтималлыгыБер санга ставка$30 × 1635,5%Ике санга ставка$60 × 835,9%Рәткә ставка$90 × 534,5%Почмакка ставка$125 × 436,7%Алты санга ставка$166, $166, $16841,2%Дюжинага ставка$500 × 132,4%Кызыл$500 × 148,6%Сез беркайчан да бетми торган уен акчасыакчаУен акчасыУен өчен аерып куелган гомуми сумма. Уен акчасы белән идарә итү — аның күпме өлешен бер ставкада һәм бер сессиядә куркыныч астына куярга карар итү.Тулысынча уку → белән әйләнеш саен кызылга бер берәмлек куясыз. Беренче әйләнештән соң сез бер берәмлеккә откан яки бер берәмлеккә оттырган. Кайчан да булса нәкъ нульгә кайту ихтималлыгы нинди?
Чишелешне күрсәтү
Җавап 37 дә 36, 97,3%. Америка тәгәрмәчендә 38 дә 36, 94,7%.
Беренче әйләнеш отса (37 дә 18 тапкыр), сез бер берәмлеккә откан, ә өстенлек һәр чиксез сессияне түбән тарта, шуңа иртәме-соңмы сез нуль аша кире узасыз: бу ачык. Оттырса (37 дә 19 тапкыр), сезгә бер берәмлек күтәрелергә кирәк, ә кайчан да булса бер берәмлек алга чыгу ихтималлыгы 18/19 (өстәге таблицаны карагыз).
Бергә: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Гомумән алганда, ихтималлык 1 минус әйләнешне оту һәм оттыру ихтималлыклары аермасы: Европа тәгәрмәчендә 1 − 1/37, Америкада 1 − 2/38. НульсезтәгәрмәчНульТигез түләүле, дюжина яки баганага бер ставка да капламый торган бердәнбер яшел уяч; казино өстенлегенең чыганагы. Шулай ук: бер нуль, 0.Тулысынча уку → уенда аерма юк һәм ихтималлык 1: хисап һәрвакыт нульгә кайта. Эпштейн (2013) гомуми кагыйдәне бирә.
Паскальның 1656 елгы мәсьәләсе: ике уенчы өч сөяк ыргыта, һәрберсе 12 фишкадан башлый. Һәр 11 бер фишканы беренче уенчыга, һәр 14 икенчесенә күчерә; башка ыргытулар исәпләнми. Беренче уенчының барлык 24 не отуы никадәр ихтимал? Ә моның урынына банк ролендәге дустыгызга каршы, һәрберегездә 12 берәмлек белән, һәр әйләнештә кызылга 1 берәмлек куйсагыз, барлык 24 не отуыгыз никадәр ихтимал?
Чишелешне күрсәтү
Җавап Беренче уенчы якынча 1 158 дә 1 157 тапкыр ота. Сез, кызылда, барлык 24 берәмлекне якынча 34% очракта гына отасыз.
Өч сөяк 11 не 27 юл белән, 14 не 15 юл белән бирә, шуңа күчкән һәр фишка беренче уенчыга 42 дә 27 тапкыр, 14 тә 9 тапкыр китә. Ике як та 12 дән башлаганда, барысын да оту ихтималлыгы 1/(1 + r¹²), монда r — каршы якның ихтималлыгының сезнекенә нисбәте.
Беренче уенчы өчен r = 5/9, һәм (5/9)¹² ≈ 0,00086, шуңа ихтималлык якынча 0,99914: 9¹² гә каршы 5¹², яки 282 429 536 481 гә каршы 244 140 625, якынча 1 157 гә каршы 1. Гюйгенс 1657 елда нәкъ шул саннарны бастырган.
Кызылда нуль аркасында r = 19/18, һәм (19/18)¹² ≈ 1,913: сезнең ихтималлык 1/2,913 ≈ 34,3%. Тәңкә 50% бирер иде. Һәр ставкадагы 2,70% өстенлек кирәк булган күп ставкалар дәвамында 16 пунктлык аермага җыела.
Көлке өчен тәнәфес
Кыю уен оптималь. Ул шулай ук тиз тәмамлана.
Чыганаклар
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Каркави П. де. Гюйгенска хат, 1656 елның 28 сентябре, Паскальнең Фермага биргән мәсьәләсе турында.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”