Озын арада якынлашу: рулеткада зур саннар законы
Уртача күрсәткеч −2,70% ка таба ничек урнаша һәм ни өчен моңа интуиция көткәннән озаграк вакыт кирәк.
Әйләнешләр җыелган саен бер әйләнешкә туры килгән уртача югалту −1/37 гә якынлаша, ә таралыш 1/√N кебек кими. Кызылга 1 000 әйләнештән соң уртача күрсәткеч гадәттә үзенең көтелгән кыйммәтеннән ±3% эчендә була.
Зур саннар законы
Бәйсез ставкаларның агымдагы уртачасы көтелгән кыйммәткәматематикаКөтелгән кыйммәтОзын арада бер ставкага уртача нәтиҗә. Һәр стандарт Европа ставкасы өчен ставканың −1/37 өлеше.Тулысынча уку → омтыла. Бер берәмлекакчаБерәмлекСистема яки уенчы эш итә торган төп ставка. Прогрессияләр теләсә кайсы өстәлдә кулланырлык булсын өчен берәмлекләрдә тасвирлана.Тулысынча уку → белән N тигез түләүле әйләнештән соң бер әйләнешкә уртача нәтиҗәнең көтелгән кыйммәте −1/37, ә стандарт тайпылышыматематикаСтандарт тайпылышДисперсиядән квадрат тамыр; нәтиҗәнең көтелгән кыйммәттән гадәти ераклыгы.Тулысынча уку → 1/√N. N = 100 булганда бу таралыш ставканың 10% ы, 2,7% лы сигналдан дүрт тапкырга якын зуррак. N = 1 000 булганда ул 3,2%, якынча сигнал кадәр. N = 10 000 булганда ул 1%, һәм өстенлек ачык күренә. Өстенлек бер сессиядә күренми, ә бер ел эчендә аны танымау мөмкин түгел.
Нәрсә якынлаша, нәрсә якынлашмый
Бер әйләнешкә уртача якынлаша. Гомуми сумма якынлашмый: N үскән саен ул нульдән ерагая бара, көтелгән кыйммәт буенча N нең якынча 2,7% ына, тирәсендә √N таралыш белән. $10 лык ставкалар белән 10 000 әйләнеш уйнаган уенчы көтелгәнчә $2 700 югалта, ± $1 000 чамасы. КызылларставкаКызыл18 кызыл санга тигез түләүле ставка. Французча: rouge.Тулысынча уку →ның агымдагы өлеше күптән инде 48,65% тирәсендә урнашкан; агымдагы баланс исә беркайда да урнашмаган.
- p10 −$440
- p25 −$280
- медиана −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Интуиция ни өчен ялгыша
Кешеләр өстенлекнең тиз күренүен көтә, чөнки 2,70% күп кебек тоела, һәм озын сериялар «тигезләнер» дип көтә, чөнки зур саннар законыматематикаЗур саннар законыСынаулар саны арткан саен, бәйсез нәтиҗәләрнең уртачасы көтелгән кыйммәткә якынлаша.Тулысынча уку → уртачалар якынлаша ди. Ике интуиция дә масштабны дөрес бәяләми: өстенлек бер әйләнешнең дисперсиясематематикаДисперсияНәтиҗәләрнең көтелгән кыйммәт тирәсендә күпме киң таралуын үлчәү. Бер санга ставкада югары, тигез түләүле ставкаларда түбән.Тулысынча уку → белән чагыштырганда кечкенә (σ = 1 берәмлек, EV = 0,027), шуңа аның бер сигма дәрәҗәсендә күренүе өчен (1/0,027)² ≈ 1 400 әйләнеш кирәк. Ә уртачаның якынлашуы гомуми сумманы кире тартмый; ул үткән тирбәнешләрне генә сыекландыра.
Башка ставкалар өчен якынлашу
Бер санга ставкаларставкаБер санга ставкаБер сан, 35:1 түли.Тулысынча уку → өчен σ = 5,84, шуңа шул ук исәп өстенлекнең бер сигмага җитүе өчен (5,84/0,027)² ≈ 47 000 әйләнеш бирә. Бер санга куючы уенчы еллар буе уйный ала, һәм аның үз язмаларында өстенлекне уңыштан аерып булмый, шул ук вакытта ул өстенлекне берничә атнада күрүче кызылга куючы уенчы кебек үк нәкъ шул 2,70% ны түли.
Системаларны сынау өчен нәтиҗә
Системаның эшләвен раслаучы һәркем аны 10 000 яки күбрәк әйләнештә документлаштырылган уңай уртача белән күрсәтә алырга тиеш. Тигез түләүле ставкада 1 000 әйләнештә уңай уртача нуль гипотезасы буенча бишкә бер очрак; 100 әйләнештә ул тәңкә ыргытуга якын. Бу сайттагы симуляторлар сез сайлаган озынлыктагы 2 000 сессияне бер секундта эшләтә, бу теләсә нинди бәяләмәдән күбрәк дәлил.
Формула
Сораулар
Кабат плюска чыгу ихтималлыгыматематикаИхтималлыкНәтиҗәнең мөмкинлеге, 0 дән 1 гә кадәр яки 0% тан 100% ка кадәр. Бер сан: 1/37 = 2,70%.Тулысынча уку → уйнаган саен нульгә таба кими. Гомуми сумма чиксез түбәнгә шуыша.
Юк. Ул үткән тирбәнешләрнең зуррак сайланмада кечерәк өлешкә әйләнүен аңлата.
Тигез түләүле ставкаларда өстенлек ачык күренгәнче якынча 10 000. Бер санга ставкаларда якынча 50 000.
Күңелле математика
Башта үзегез чишеп карагыз. Һәр чишелеш яшерелгән; әзер булгач ачыгыз.
Ике дус гадел уенныңматематикаГадел уенБер якның да өстенлеге булмаган уен: һәр ставканың көтелгән кыйммәте нуль.Тулысынча уку → 20 турын уйный, тәңкә ыргыту яки нульләртәгәрмәчНульТигез түләүле, дюжина яки баганага бер ставка да капламый торган бердәнбер яшел уяч; казино өстенлегенең чыганагы. Шулай ук: бер нуль, 0.Тулысынча уку → кайтарылганда кызылставкаКызыл18 кызыл санга тигез түләүле ставка. Французча: rouge.Тулысынча уку → белән караставкаКара18 кара санга тигез түләүле ставка. Французча: noir.Тулысынча уку →, һәм гомуми хисапны алып бара. Һәрберсе алда булган турларны санагыз (тигезлек аннан алда кем алда булган, шуңа исәпләнә). Кайсы ихтималрак: әйдәүнең 10 турга 10 бүленүеме, әллә бер дусның барлык 20 турда да алда булуымы?
Чишелешне күрсәтү
Җавап Бер дусның барлык 20 турда алда булуы күпкә ихтималрак: теләсә кайсы дусны исәпләгәндә 35,2%, тигез 10 га 10 өчен 6,1% ка каршы.
Гадел гомуми хисапның 2k турдан соң тигез булу ихтималлыгы u = C(2k, k)/2²ᵏ: 10 турдан соң 0,246, 20 турдан соң 0,176. Классик нәтиҗә, арксинус законы, билгеле бер дусның 2n турның нәкъ 2k сында алда булу ихтималлыгы u(2k) × u(2n − 2k) дип әйтә.
Барлык 20 турда алда: һәр дус өчен u(20) × u(0) = 0,176, теләсә кайсысы өчен 35,2%. Тигез бүленү: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, барлык бүленүләрнең иң аз ихтималы.
Димәк, гадел уенда әйдәү сирәк кенә кулдан кулга күчә. Кич буе алда яки кич буе артта булган уенчы гадәттән тыш бернәрсә дә күрмәгән, һәм бу тәгәрмәч турында да, осталык турында да бернәрсә дә әйтми. Эпштейн (2013) озынрак уеннар өчен шул ук законны бирә: очракларның яртысында бәхетлерәк як уенның 85% тан артыгында алда була.
Көлке өчен тәнәфес
Уртача якынлаша. Гомуми сумма исә китеп бара.
Чыганаклар
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.