Келли критерие һәм рулетка
Келли критерие өстенлеге булган уенчыга күпме куярга кирәклеген әйтә. Рулетка өчен ул ачык җавап бирә: бернәрсә дә.
Келли ставкасы = өстенлек / коэффициент. Тискәре өстенлек булганда формула тискәре өлеш кайтара, бу — куймагыз дигәнне аңлата. Критерий тайпылыш эзләүче уенчыларның ставкаларны ни өчен шулай билгеләвен һәм калганнарның ни өчен бюджет буенча билгеләргә тиешлеген аңлау өчен барыбер файдалы.
Критерий
Джон Келли (1956) билгеле өстенлеге булган уенчы уен акчасыныңакчаУен акчасыУен өчен аерып куелган гомуми сумма. Уен акчасы белән идарә итү — аның күпме өлешен бер ставкада һәм бер сессиядә куркыныч астына куярга карар итү.Тулысынча уку → озак вакытлы үсешен максимальләштерү өчен ставкаларны ничек билгеләргә тиеш дигән сорау куйган. b:1 түләүле, отыш ихтималлыгыматематикаИхтималлыкНәтиҗәнең мөмкинлеге, 0 дән 1 гә кадәр яки 0% тан 100% ка кадәр. Бер сан: 1/37 = 2,70%.Тулысынча уку → p һәм оттыру ихтималлыгы q = 1 − p булган ставка өчен җавап — уен акчасының f* = (bp − q) / b өлешен кую. Уңай f* шул өлешне куегыз дигәнне аңлата; нуль яки тискәре — куймагыз. Келли Bell Labs та эшләгән, һәм аның «A new interpretation of information rate» мәкаләсе мәсьәләне Клод Шеннонның мәгълүмат теориясенә урнаштырган: шаулы элемтә линиясе аша киңәшләр алучы уенчы, гадел коэффициентларда, уен акчасын иң яхшы очракта линия мәгълүмат тапшыру тизлеге белән үстерә ала. 1961 елда Лео Брейман Келли буенча кую озак арада теләсә нинди асылда башка стратегиядән алга чыгуын һәм куелган максатка якынча иң кыска вакытта ирешүен исбатлаган.
Рулеткада Келли буенча кую
КызылставкаКызыл18 кызыл санга тигез түләүле ставка. Французча: rouge.Тулысынча уку → өчен: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Бер санга ставкаставкаБер санга ставкаБер сан, 35:1 түли.Тулысынча уку → өчен: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Һәр стандарт ставка тискәре Келли өлеше бирә, чөнки һәр ставканың өстенлеге тискәре, һәм үсеш өчен оптималь ставка — нуль. Рулеткада Келли буенча кую — казино өстенлеге бите әйткәнне формаль әйтү ысулы: тискәре көтелгән кыйммәтле ставка уен акчасын үстерә торган бер зурлык та юк.
Келли кайда кулланылган
Тайпылыш эзләүче уенчыларның өстенлеге дә, ставка зурлыгы мәсьәләсе дә булган. Джаггер, Гарсиа-Пелайолар һәм Эвдемоннар барысы да үлчәнгән өстенлекләренә күпме куярга кирәклекне хәл итәргә тиеш булган: аз кую өстенлекне әрәм итә, ә артык кую өстенлек күренгәнче бөлгенлеккә китерергә мөмкин. 30 га 1 тапкыр туры килә торган уячҗиһазУячРоторда номерланган 37 бүлекнең берсе. Шулай ук: ячейка, касәчек.Тулысынча уку → өчен Келли шул санга һәр әйләнештә уен акчасының 0,57% ын куярга куша: $10 000 булганда әйләнешкә якынча $57, гадәти үсеш әйләнешкә якынча 0,054%, яки 1 000 әйләнештә ×1,7. Уртача табыш моннан ике тапкыр зуррак, әйләнешкә 0,11%, ләкин Келли берничә уңышлы серия арттырып җибәрә торган уртача уен акчасына түгел, гадәти уен акчасына юнәлтелгән. Ярты Келли — гадәти гамәли сайлау, чөнки өстенлек бәяләмәсе төгәл түгел.
Гадәти һәм уртача
Гадәти уен акчасы белән уртача уен акчасы арасындагы аерма зур. 25 тә 1 тапкыр туры килә торган уячны алыйк, өстенлек 44%, Торп үз җайланмасы өчен китергән сан. Келли аңа уен акчасының 1,26% ын куя. 1 000 әйләнештән соң гадәти уен акчасы якынча 11,5 тапкыр үсә, ә берничә бик уңышлы серия күтәргән уртача якынча 249 тапкыр үсә. Келлидан күбрәк кую уртачаны арттыра һәм гадәти нәтиҗәне киметә: Келли ставкасының ике тапкыры белән гадәти уен акчасы ике тапкыр гына арта, ә Келли ставкасының ике ярым тапкыры белән ул кими, һәр ставка һаман 44% өстенлеккә ия булса да. Азрак кую аз тора: ярты ставка үсешнең якынча дүрттән өч өлешен саклый.
Өстенлек фараз булганда
Келли өстенлекне билгеле дип саный. Өстәл янында ул бәяләнә, һәм бәяләмә гадәттә артык югары була. Торпның 44% ына нигезләнгән Эпштейн мисалы — ике нультәгәрмәчНульТигез түләүле, дюжина яки баганага бер ставка да капламый торган бердәнбер яшел уяч; казино өстенлегенең чыганагы. Шулай ук: бер нуль, 0.Тулысынча уку →ле тәгәрмәчнең 1 225 әйләнешендә 49 тапкыр чыккан сан: 25 тә 1 тапкыр, 44% өстенлек, 1,26% Келли ставкасы. Ләкин гадел ике нульле тәгәрмәчтә 38 сан бар, һәм аларның иң еш чыкканы 1 225 әйләнештә 49 яки күбрәк тапкырга якынча тугыздан бер очракта җитә. Теләсә нинди язмада иң еш чыккан сан — уңыш иң күп ярдәм иткәне дә, шуңа чыннан да тайпылышлы уяч та язмада булганыннан яхшырак күренә: җиңүче каргышы. Әгәр ул уяч чынлыкта тайпылышсыз булса, Келли ставкасы — уртача 5,26% оттыра торган ставка гына. Гадәти җаваплар — Келлиның бер өлешен кую һәм өстенлек яңа язмада да сакланганчы санауны дәвам итү (Рулетка тәгәрмәченең тайпылышын ничек ачыкларга битен карагыз).
Өстенлеге булган кешеләр
Өстенлекне белү аны яхшы куллану белән бер түгел. Хагани һәм Дьюи (2016) 61 кешегә $25 биргән, ярты сәгать буе 60% очракта герб ягы белән төшә дип әйтелгән тәңкәгә куярга, отышлар $250 белән чикләнгән (уенчылар чик турында аңа җиткәч кенә белгән). Келли һәр тапкыр гербка уен акчасының 20% ын куярга куша, һәм авторлар бәяләвенчә, 10–20% лык тотрыклы ставкалар чиккә якынча 95% очракта җитәр иде. Уенчыларның 21% ы гына анда җиткән. 28% ы бөлгенлеккә төшкән, 61 кешенең 18 е бер ыргытуга барысын да куйган, якынча өчтән бере башлангыч $25 тан азрак белән тәмамлаган, ә уртача түләүакчаТүләүОткан ставка кайтара торган сумма, кире кайтарылган ставкага өстәп «X гә 1» дип күрсәтелә.Тулысынча уку → $91 булган. 61 кешенең бишесе генә Келли критерие турында ишеткән. Өстенлек булганда ставкаларның зурлыгы аны саклап калуыгызны хәл итә; ул булмаганда, гадел тәгәрмәчтәге кебек, бер зурлык та ярдәм итми.
Аның урынына нәрсә кулланырга
Өстенлек булмаганда ставка зурлыгы — үсеш мәсьәләсе түгел, бюджет мәсьәләсе: ставка = сез бер әйләнешкә тотарга әзер сумма, сәгатьлек бюджеттан һәм өстәлнең тизлегеннән чыгарыла (уен акчасы белән идарә итү бите). Келлиның гади уенчыга өлеше — җавабының ачыклыгы: нуль. Нульдән өстә куйган һәрнәрсә — уйнау бәясе, аны сез сайлыйсыз, ул бер формула белән дә оптимальләштерелми.
Өлешчә Келли һәм «акча белән идарә итү» турында искәрмә
«Рулетка өчен Келли» дип сатылган һәм һәр ставкага уен акчасының даими процентын тәкъдим иткән системалар — кими баручы ставка белән даими ставкастратегияДаими ставкаҺәр әйләнештә бер үк сумманы кую. Һәр прогрессия чагыштырыла торган үлчәм.Тулысынча уку →. Алар әйләнешакчаӘйләнешСессия яки чор дәвамында куелган гомуми сумма, яңадан куелган отышларны да санап. Шулай ук: handle, action.Тулысынча уку →нең 2,70% ын югалта һәм, ставка оттырган саен кимегәнгә, бөлгенлекне ихтималсыз түгел, ә әкрен генә итә. Бу бюджетны озаккарак җиткерүнең акыллы ысулы; ләкин бу Келли түгел, Келли туктарга кушар иде.
Формула
Сораулар
Тайпылышлы тәгәрмәчтәнлабораторияТайпылышлы тәгәрмәчФизик кимчелекләре аркасында кайбер уячлары 1/37 дән ешрак чыга торган тәгәрмәч. Сирәк очрый, аны меңләгән язып алынган әйләнеш буенча гына ачыклап була.Тулысынча уку → яки вакыт үлчәү җайланмасыннан үлчәнгән өстенлек булганда гына. Гадел тәгәрмәчтә түгел.
Чөнки өстенлек бәяләмәсендә хата бар, һәм артык кую аз куюдан кыйммәтрәк. Ярты Келли дисперсияматематикаДисперсияНәтиҗәләрнең көтелгән кыйммәт тирәсендә күпме киң таралуын үлчәү. Бер санга ставкада югары, тигез түләүле ставкаларда түбән.Тулысынча уку →нең дүрттән бер өлеше белән үсешнең дүрттән өч өлешен бирә.
Юк. Келли өстенлек булганда үсешне оптимальләштерә. Уен акчасы белән идарә итү өстенлек булмаганда чыгымнарны контрольдә тота.
Күңелле математика
Башта үзегез чишеп карагыз. Һәр чишелеш яшерелгән; әзер булгач ачыгыз.
Торп һәм Шеннонның фараз җайланмасы якынча 44% өстенлек биргән. Бер фаразланган санга Келли уен акчасыныңакчаУен акчасыУен өчен аерып куелган гомуми сумма. Уен акчасы белән идарә итү — аның күпме өлешен бер ставкада һәм бер сессиядә куркыныч астына куярга карар итү.Тулысынча уку → 1,26% ын куярга куша. Шул ук 44% өстенлек биш күрше санга таратылган бер ставкада булса, нәрсә?
Чишелешне күрсәтү
Җавап Ул вакытта Келли уен акчасының 7,1% ын куша, һәм уен акчасы алты тапкырга диярлек тизрәк үсә: 1 000 ставкада якынча 1,25 миллион тапкыр, якынча 11,5 тапкырга каршы.
44% өстенлекле бер санга ставкаставкаБер санга ставкаБер сан, 35:1 түли.Тулысынча уку → 0,04 ихтималлык белән ота, чөнки 36 × 0,04 = 1,44. Келли ставкасы — өстенлекне коэффициентка бүлгәне: 0,44/35 = 1,26%. Бер ставкага типик үсеш 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, шуңа 1 000 ставка уен акчасын якынча e^2,44 ≈ 11,5 тапкырга арттыра.
Бер ставканы биш санга таратсагыз, ставка 0,20 ихтималлык белән ота һәм 1 өчен 36/5 түли, ягъни 6,2:1: һаман 44% өстенлек, чөнки 0,2 × 7,2 = 1,44. Келли ставкасы 0,44/6,2 = 7,10% була, ә бер ставкага үсеш 0,01404, якынча 5,75 тапкыр күбрәк. 1 000 ставкада бу e^14,04, якынча 1,25 миллион.
Өстенлек шул ук; тирбәлешләр кечерәк. Бишнең берендә откан ставка бөлгенлеккә төшү куркынычыннан башка уен акчасының зуррак өлешен күтәрә ала, һәм Келли үсеше моны бүләкли. Торп (1984) бу мисал белән фараз уенчыларының ни өчен секторларгатәгәрмәчСекторТәгәрмәчтәге уячларның өзлексез дугасы, өстәлдәге төркемнән аермалы буларак.Тулысынча уку → куюын күрсәтә. Гамәлдә биш күршенеңставкаКүршеләрТәгәрмәчтә сан һәм аның һәр ягындагы ике уяч, бер санга биш фишка.Тулысынча уку → өстенлеге иң яхшы бер санныкыннан бераз түбәнрәк (Рулеткада өстенлекле уен битен карагыз).
Уенчы һәрберсе 37 дә 1 урынына 25 тә 1 тапкыр чыга торган ике күрше уячҗиһазУячРоторда номерланган 37 бүлекнең берсе. Шулай ук: ячейка, касәчек.Тулысынча уку → тапкан. Алар арасындагы ике санга ставканыставкаИке санга ставкаЯнәшә ике сан, 17:1 түли.Тулысынча уку → 17:1 белән куярга кирәкме, әллә һәр санга аерым? Келли күпме куша һәм уен акчасы бер мондый уяч белән чагыштырганда никадәр тиз үсә?
Чишелешне күрсәтү
Җавап Аермасы юк: ике санга ставкага уен акчасының 2,59% ы, яки һәр санга 1,29%. Типик уен акчасы 1 000 әйләнештә якынча 155 тапкыр үсә, бер уяч белән 11,5 тапкырга каршы.
Ике санга ставка 2/25 = 0,08 ихтималлыкматематикаИхтималлыкНәтиҗәнең мөмкинлеге, 0 дән 1 гә кадәр яки 0% тан 100% ка кадәр. Бер сан: 1/37 = 2,70%.Тулысынча уку → белән ота һәм 17:1 түли, шуңа куелган берәмлеккәакчаБерәмлекСистема яки уенчы эш итә торган төп ставка. Прогрессияләр теләсә кайсы өстәлдә кулланырлык булсын өчен берәмлекләрдә тасвирлана.Тулысынча уку → 18 × 0,08 = 1,44 кайтара: 44% өстенлек, бер тайпылышлы уячтагы кебек үк. Келли ставкасы — өстенлекне коэффициентка бүлгәне: 0,44/17 = 2,59%.
Һәрберсе 1,29% лык ике бер санга ставка нәкъ шул ук нәтиҗәләр бирә. Саннарның берсе чыкканда, бер фишкаакчаФишкаБилгеле сумманы аңлатучы жетон, ставка ясау өчен өстәлгә куела. Шулай ук: check.Тулысынча уку → 35:1 ота, икенчесе югала, нәтиҗәдә уен акчасының 34 × 1,29% = 44% ы, ике санга ставка түләгәнчә; берсе дә чыкмаганда, икесе дә югала.
Бер әйләнешкә үсеш 0,00505, бер уяч өчен 0,00244 кә каршы, шуңа 1 000 әйләнештә типик уен акчасы e^2,44 ≈ 11,5 тапкыр түгел, ә e^5,046 ≈ 155 тапкыр үсә. Ике яхшы сан берсенең икеләтелгәненнән күпкә кыйммәтрәк, шуңа күрә тайпылыш эзләүче уенчылар саннар төркемнәренә куя. Торп (1984) шул ук чагыштыруны эшли.
Көлке өчен тәнәфес
Рулеткада үсеш өчен оптималь ставка — һәркем белгән сан.
Чыганаклар
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”