Мәсьәлә: өстәл лимиты
$500 лы өстәлдә $10 лы Мартингейл. Ул никадәр еш җимерелә, җимерелгәндә күпме оттыра, һәм лимитны күтәрү ярдәм итәме?
Рәттән алты оттыру аны җимерә: циклга 1,8%, 100 әйләнешлек сессияләрнең якынча 60% ы. Җимерелү $630 га төшә. Лимитны $5 000 га күтәрү җимерелүне сирәгрәк (циклга 0,25%) һәм зуррак ($5 110) итә. Куелган долларга көтелгән югалту теләсә нинди лимитта 2,70%.
Мәсьәлә
Уенчы кызылставкаКызыл18 кызыл санга тигез түләүле ставка. Французча: rouge.Тулысынча уку →га $10 куя һәм һәр оттырудан соң ставканы икеләтә, отыштан соң башына кайта. Өстәл максимумы — $500. (a) Рәттән ничә оттыру прогрессиястратегияПрогрессияСтавканы алдагы нәтиҗәләргә карап үзгәртүче теләсә кайсы кагыйдә. Тискәре прогрессияләр аны оттырулардан соң, уңай прогрессияләр отышлардан соң күтәрә.Тулысынча уку →не җимерә? (b) Циклга ихтималлыкматематикаИхтималлыкНәтиҗәнең мөмкинлеге, 0 дән 1 гә кадәр яки 0% тан 100% ка кадәр. Бер сан: 1/37 = 2,70%.Тулысынча уку → нинди? (c) Җимерелгәндә күпме югалтыла? (d) $5 000 лимит җавапларны ничек үзгәртә? (e) Берәр лимит системаны табышлы итәме?
(a)–(c) чишелешләре
Ставкалар: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Җиденчесе 640 > 500 булыр иде, шуңа алты оттыру аны җимерә. (b) Кызылда p(оттыру) = 19/37; (19/37)⁶ = 0,0183, циклга якынча 1,8%. Цикл уртача ике әйләнеш чамасы дәвам итә, шуңа 100 әйләнешлек сессиядә якынча 50 цикл була һәм p(ким дигәндә бер җимерелү) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, бу 63 база берәмлегеакчаБерәмлекСистема яки уенчы эш итә торган төп ставка. Прогрессияләр теләсә кайсы өстәлдә кулланырлык булсын өчен берәмлекләрдә тасвирлана.Тулысынча уку →, ә цикл отарга тырышкан сумма — $10.
(d) чишелеше
$5 000 булганда: 2 560 ка кадәр ставкалар рөхсәт ителә; унынчы ставка, 5 120, кабул ителми. Тугыз оттыру аны җимерә: (19/37)⁹ ≈ циклга 0,25%, 100 әйләнешлек сессияләрнең якынча 11% ы. Җимерелгәндә югалту: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Уенчы сирәгрәк һәлакәтне зуррак һәлакәт бәясенә сатып алган. Күп сессияләр дәвамында җимерелүләрнең көтелгән бәясе p × югалту ≈ $500 лимитта 0,0183 × 630 = циклга $11,5 һәм $5 000 да 0,0025 × 5 110 = $12,8; түгәрәкләү төгәллегендә бу бер үк сан, һәм ул циклның көтелгән югалтуыматематикаКөтелгән югалтуКөтелгән кыйммәтне куелган гомуми суммага тапкырлау; сессия яки чор дәвамында уртача югалтылган сумма.Тулысынча уку → плюс откан цикллар алган $10.
(e) чишелеше
Юк. Циклга көтелгән югалту = (циклдагы көтелгән гомуми ставка) / 37, теләсә нинди лимитта, чөнки һәр ставка үзенең −1/37 е. Лимит югалтуның күп кечкенә отышлар һәм аз санлы зур оттырулар арасында ничек бүленүен генә хәл итә. Лимитсыз һәм чиксез уен акчасыакчаУен акчасыУен өчен аерып куелган гомуми сумма. Уен акчасы белән идарә итү — аның күпме өлешен бер ставкада һәм бер сессиядә куркыныч астына куярга карар итү.Тулысынча уку → белән прогрессия «эшләр» иде, ягъни беркайчан да җимерелмәс иде, ләкин ул шулай ук чиксез сумма куяр иде, һәм көтелгән югалту шул чиксез сумманың 2,70% ы булыр иде. МартингейлстратегияМартингейлҺәр оттырудан соң ставканы ике тапкыр арттыручы прогрессия. Аның нәрсә эшләгәнен һәм нәрсә эшләмәгәнен «Стратегия» бүлегендә карагыз.Тулысынча уку →га эшләргә өстәл лимитыөстәлӨстәл лимитыРөхсәт ителгән минималь һәм максималь ставка. Икеләтү прогрессияләрен максимум туктата.Тулысынча уку → комачауламый. Арифметика комачаулый.
Ике чын өстәл
Торп мисалы — максимумы $1 000 булган $1 лы өстәл, анда уенчы кичке аш өчен $30 ны берәр доллар белән отарга өметләнә. 1, 2, 4 … 512 ставкалары ун ставкага мөмкинлек бирә, шуңа рәттән ун оттыру прогрессияне җимерә: Европа тәгәрмәчендә 785 циклда бер тапкыр (Америка тәгәрмәчендә 613 тә бер тапкыр), $1 023 бәясенә. Утыз циклның барысы да 96,2% очракта уңышлы була. Калган 3,8% якынча $1 000 оттыра, һәм кичнең уртача нәтиҗәсе −$9,17, бу утыз цикл уртача куйган $339 ның нәкъ 1/37 е. Максимумы $2 000 булган $5 лы өстәл дә аерылмый: $1 280 гә кадәр ставкалар тугыз ставкага мөмкинлек бирә, һәм җимерелү Европа тәгәрмәчендә 403 циклда бер тапкыр (Америка тәгәрмәчендә 323 тә бер тапкыр) була һәм $2 555 ка төшә.
Бай уенчы
Прогрессиягә түбән лимит урынына тирән уен акчасы бирик: 1 000 берәмлек, бер берәмлекле база һәм кызылга 1 000 әйләнеш, киләсе икеләтү калганнан артык булган саен яңадан бер берәмлектән башлап. Без мондый бер миллион кичне симуляцияләдек. Европа тәгәрмәчендә 52% ы плюста тәмамлана, 21% ы барысын да югалта, ә уртача нәтиҗә −124 берәмлек. Хәтта бер нультәгәрмәчНульТигез түләүле, дюжина яки баганага бер ставка да капламый торган бердәнбер яшел уяч; казино өстенлегенең чыганагы. Шулай ук: бер нуль, 0.Тулысынча уку →сез уенда да, анда һәр ставка гадел, якынча 60% ы гына плюста тәмамланыр иде. Гадәти кич — кечкенә отыш; уртачаны нульдә тәмамланган кичләр түли.
Сабак
Казинолар лимитларны системаларны җиңү өчен түгел, үз дисперсияматематикаДисперсияНәтиҗәләрнең көтелгән кыйммәт тирәсендә күпме киң таралуын үлчәү. Бер санга ставкада югары, тигез түләүле ставкаларда түбән.Тулысынча уку →ләрен чикләү өчен куя. Мартингейлны җиңү — алар бик риза булган яндаш нәтиҗә, һәм арифметика аны барыбер җиңәр иде. Лимитны проблема дип санаучы уенчы кыяны тапкан, ләкин аны сөзәклек дип ялгышкан.
Формула
Сораулар
Ул сезгә югарырак лимитка кадәр исән калырга мөмкинлек бирә, анда җимерелү сирәгрәк һәм зуррак. Долларга көтелгән югалту үзгәрми.
Ставкалар 10, 30, 70, 150, 310: $500 лимитка биш оттырудан соң бәрелә, һәм җимерелү $570 ка төшә. Шул ук 2,70%.
Бер уенчы казино резервы җиңел түли алганнан күбрәк куя алмасын өчен. Дисперсия белән идарә итү.
Күңелле математика
Башта үзегез чишеп карагыз. Һәр чишелеш яшерелгән; әзер булгач ачыгыз.
МартингейлстратегияМартингейлҺәр оттырудан соң ставканы ике тапкыр арттыручы прогрессия. Аның нәрсә эшләгәнен һәм нәрсә эшләмәгәнен «Стратегия» бүлегендә карагыз.Тулысынча уку → кызылгаставкаКызыл18 кызыл санга тигез түләүле ставка. Французча: rouge.Тулысынча уку → $100 дән башлый һәм үзенә циклга иң күбе n ставка рөхсәт итә: рәттән n оттырудан соң ул ташлый һәм яңадан башлый. Бер циклның уртача нәтиҗәсен n аша формула итеп языгыз һәм Европа тәгәрмәчендә 5, 6 һәм 7 ставка өчен исәпләгез.
Чишелешне күрсәтү
Җавап Уртача 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 ставка өчен −$14,26, 6 өчен −$17,35 һәм 7 өчен −$20,52. Күбрәк ставка рөхсәт итү уртача циклны яхшыртмый, начарайта.
Барлык n ставка оттырмаса, цикл $100 ота; барысы да qⁿ ихтималлык белән оттыра, монда q = 19/37. Барысы да оттырганда, 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ ставкалар 100 × (2ⁿ − 1) кә кушыла. Димәк, уртача 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Монда 2q = 38/37, 1 дән бераз күбрәк, шуңа (2q)ⁿ n белән үсә, ә уртача кими: n = 5 1,1426 һәм −$14,26 бирә; n = 6 1,1735 һәм −$17,35 бирә; n = 7 1,2052 һәм −$20,52 бирә. Озынрак баскыч сирәгрәк оттыра, циклларның 3,6%, 1,8% һәм 0,9% ында, ләкин һәр оттыру ике тапкыр зуррак, һәм һәр циклда өстәл аша күбрәк акча уза, һәр ставканың 2,70% ы белән.
Америка тәгәрмәчендә 2q = 40/38, ә саннар −$29,24, −$36,04 һәм −$43,20 (Тейлор, 2021). НульсезтәгәрмәчНульТигез түләүле, дюжина яки баганага бер ставка да капламый торган бердәнбер яшел уяч; казино өстенлегенең чыганагы. Шулай ук: бер нуль, 0.Тулысынча уку → уенда 2q = 1, һәм баскыч никадәр озын булса да, һәр циклның уртачасы нәкъ нуль.
«Гранд Мартингейл» оттырудан соң ставка суммасын икеләтә һәм бер берәмлекакчаБерәмлекСистема яки уенчы эш итә торган төп ставка. Прогрессияләр теләсә кайсы өстәлдә кулланырлык булсын өчен берәмлекләрдә тасвирлана.Тулысынча уку → өсти, шуңа ставкалар 1, 3, 7, 15, 31 … бара. Беренче отыш 1 нче, 2 нче, 3 нче яки k нчы ставкада килсә, сез күпмегә отышта? $10 лык берәмлектә һәм $500 максимумда цикл никадәр еш өзелә, һәм цикл уртача күпмегә төшә?
Чишелешне күрсәтү
Җавап k нчы ставкадагы отыш сезне k берәмлек отышта калдыра: +1, +2, +3 һ.б. $10 һәм $500 булганда цикл биш оттырудан соң өзелә, циклларның 3,57% ы, −$570 белән. Уртача цикл куелган $85,73 тән $2,32 оттыра: 2,70%.
k нчы ставка суммасы 2ᵏ − 1 берәмлек: 1, 3, 7, 15, 31. Беренче k − 1 ставка 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 гә кушыла. k нчы ставкадагы отыш 2ᵏ − 1 түли, шуңа цикл (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k берәмлек отыш белән тәмамлана: отышка кадәрге һәр оттыру өчен бер өстәмә берәмлек.
Берәмлек $10 булганда ставкалар $10, $30, $70, $150 һәм $310; киләсе, $630, $500 максимумнан артык. Рәттән биш оттыру, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 тора.
Уртача: k = 1 дән 5 кә кадәр отышлар (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 ихтималлык белән $10 × k китерә, ә өзелү 3,57% ихтималлык белән $570 ала; бергә −$2,32. Куелган акча циклга уртача $85,73, һәм 2,32/85,73 = 2,70%. Шул ук өстәлдәге гади Мартингейл алты оттырудан соң өзелә, циклларның 1,83% ы, −$630 белән, һәм куелган $64,20 тән $1,74 оттыра: тагын 2,70%.
Уенчы лимиты $1 000 булган өстәлдә $1 лык беренче ставка белән кызылга Мартингейл планлаштыра, шуңа ун ставка мөмкин: $1, $2, $4 һ.б. $512 гә кадәр. Цикл барлык унысын да никадәр еш оттыра, моңа уртача күпме вакыт кирәк, һәм 200 ставкалы кич никадәр еш шулай тәмамлана?
Чишелешне күрсәтү
Җавап Цикл барлык унысын да якынча 784 тә бер тапкыр оттыра, бу $1 023 тора. Бу уртача якынча 1 600 ставка, ә 200 ставкалы кич якынча 11% очракта стенага бәрелә. Цикл барыбер куелган $11,31 дән уртача $0,31 оттыра: 2,70%.
Кызылга ставка, нульне дә кертеп, 19/37 ихтималлык белән оттыра. Рәттән ун: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, якынча 784 тә 1. 1 + 2 + 4 + … + 512 ставкалары $1 023 кә кушыла.
Цикл уртача 2,05 ставка ала, шуңа 784 цикл якынча 1 600 ставка ала. Әйләнеш саен санаганда, ун оттыру сериясе 200 ставкада 11,3% очракта кайдадыр очрый.
Һәлакәтләр арасында уенчы циклга $1 ота: начарысына кадәр якынча $783, аннары −$1 023, бөтен ара буена якынча −$240. Циклга: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Циклга куелган акча: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Һәм −0,31/11,31 = −2,70%.
$500 лимитта $10 лык беренче ставка белән чагыштырыгыз, алты ставка: стена 55 циклда бер тапкыр очрый, ә 200 ставкалы кич аңа 84% очракта юлыга. Югарырак лимит һәлакәтне сирәгрәк һәм зуррак итә, арзанрак түгел.
Көлке өчен тәнәфес
Һәр лимитта сирәгрәк һәм зуррак. Тапкырчыгыш даими.
Чыганаклар
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.